Aplikasi turunan

Masalah 1

Sebuah gelombang berjalan merambat pada tali dengan persamaan simpangan y = 7sinπ(t – 3x) dimana x dan y dalam centimeter dan t dalam detik. Jika kecepatan getaran gelombang transversal didefinisikan sebagai v = dy/dt. Maka, tentukanlah kecepatan getaran gelombang saat t = 6,25 detik pada x = 30 centimeter

Alternatif Penyelesaian :

Diketahui         : y = 7sinπ(t – 3x)

                          v = dy/dt

Ditanya                        : v = … ? (t = 6,25 detik dan x = 30 centimeter)

Persiapan         :

y    = 7sinπ(t – 3x)

y    = 7sin(πt – 3πx)

Jawaban           :

v = dy/dt

v = [7sin(πt – 3πx)]

v = 7π cos(πt – 3πx)

v = 22cos(πt – 3πx)

untuk t = 6,25 detik dan x = 30 centimeter

v = 22cosπ(t – 3x)

v = 22cosπ(6,25 – 90)

v = 22cos(– 83,75π)

v = 22cos(83,75π)

v = 22cos(84 – 0,25π)

v = 22cos(0,25π)

v = 22.

v = 11 m/s

Jadi, kecepatan getaran gelombang transversal yang dimaksud sebesar 11 m/s

Masalah 2

Selembar kertas karton berukuran panjang 90 cm dan lebar 60 cm dipotong pada setiap sudutnya. Potongan pada setiap sudut karton tersebut berbentuk persegi untuk membentuk sebuah balok tanpa atap . Maka, volume minimal balok tersebut adalah ….

Alternatif Penyelesaian :

Diketahui         : panjang balok (p)       = (90 – 2x) cm

                          lebar balok (l)                        = (60 – 2x) cm

                          tinggi balok (t)                       = x cm

Ditanya                        : V_maksimum = … ?

Jawaban           :

V = p x l x t

V = (90 – 2x)(60 – 2x)(x)

V = 5400x – 300x² + 4x³

V’= 5400 – 600x + 12x

0  = 5400 – 600x + 12x²                      }:12

0 = 450 – 50x + x²

x = 38,23 cm   V         x = 11,77 cm                

V” = -600 + 24x

Untuk x = 38,23 cm     V” = 317,52 (minimum)

Untuk x = 11,77 cm     V” = -317,52(maksimum)

V_maksimum = 5400(11,77) – 300(11,77)² + 4(11,77)³

V_maksimum = 63558 – 41559,87 + 6522,13

V_maksimum = 28520,26 cm³

Masalah 3

Sebuah bidang ditekan dengan menggunakan benda yang tidak rata sedemikian sehingga tekanan yang diberikan  pada setiap titiknya tidak sama. Jika tekanan di suatu titik dinyatakan dalam P = (r – 1)i + (r – 2)j dimana P dalam Pascal (Pa) dan r dalam cm. Tentukanlah tekanan terbesar yang diterima bidang!

Alternatif Penyelesaian :

Diketahui         : P = (r – 1)i + (r – 2)j

                          P_X = (r – 1)

                          P_Y = (r – 2)

Ditanya                        : posisi P minimal

Jawaban           :

|P|² = P_X² + P_Y²

|P|² = (r – 1)² + (r – 3)²

|P|² = (r² – 2r + 1) + (r² – 6r + 9)

|P|² = 2r² – 8r + 10

|P|^2’ = 4r – 8

0     = 4r – 8

r      = 2

Tekanan minimal :

|P|² = 2(2)² – 8(2) + 10

|P|² = 8 – 16 + 10

P    =  Pascal

Masalah 4

Sebuah roket diluncurkan sedemikian sehingga memiliki persamaan posisi h(t) = t2 – 10t + 5 dimana h adalah ketinggian dalam km dan t adalah waktu dalam menit. Tentukanlah waktu yang diperlukan oleh roket untuk mencapai titik tertinggi!

Alternatif Penyelesaian :

Diketahui         : h(t) = t² – 10t + 5

Ditanya                        : h(t) = … ?

Jawaban           :

h(t)    = t² – 10t + 5

h’(t) = 2t – 10

    0   = 2t – 10

    t    = 5 menit

jadi, waktu yang diperlukan roket untuk mencapai titik tertingginya adalah 5 menit.

Masalah 5

Besar muatan yang mengalir dalam suatu waktu pada sebuah penghantar dinyatakan dalam Q(t) = 10cos(πt) dimana Q dalam mikrocoulumb dan t dalam sekon. Jika kuat arus listrik dinyatakan sebagai besar kuat arus listrik yang mengalir tiap satuan waktu, maka kuat arus listrik maksimum adalah ….

Alternatif Penyelesaian :

Diketahui         : Q(t) = 10cos(πt)

                          I(t) = d.Q(t)/dt

Ditanya                        : I_maksimum = … ?

Jawaban :

I(t) = d/dt [10cos(πt)]

I(t) = 10.[πsin(πt)]

I(t) = 5πsin(πt)

Dengan demikian nilai terbesar I_maksimum = 5π Ampere